Welcome

Delete this widget from your Dashboard and add your own words. This is just an example!

LINGKARAN

Rabu, 19 Januari 2011

LINGKARAN
A.   PERSAMAAN LINGKARAN
 





Persamaan umum dengan pusat (-1/2 a,-1/2b) dan jari-jari  r 



Jadi,prinsip persamaan lingkaran adalah menentukan dulu pusat dan jari-jarinya.
Contoh :
1.    Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x di (3,0) dan menyinggung sumbu y negatif.
Jawab :
Pusat : (3,-3)
Jari-jari = 3
Persamaan :
(x – α)2 + (y – β)2 = R2
(x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0 

2.    Sebuah lingkaran melalui titik (1,0) dan menyinggung sumbu y positif di titik (0,3). Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Jawab :
·      P (x,3) = pusat lingkaran
·      Garis singgung pada lingkaran selalu tegak lurus pada jari-jari.
    Maka R = x (absis titik pusat)
·      Jari-jari lingkaran sama juga dengan jarak pusat ke titik (1,0)
     R2 = (x – 1)2 + (3 – 0)2
     R2 = (R – 1)2 + 9
     R2 = R2 – 2R + 1 + 9

     2R = 10 → R = 5
 
    Pusat lingkaran : (5,3)
    Jari-jari : R = 5
    Persamaan : (x – α)2 + (y – β)2 = R2
      (x – 5)2 + (y – 3)2 = 52
x2 + y2 – 10x – 6y + 9 = 0

B.   LINGKARAN DAN TITIK
     Ada 3 kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran :
     1.    Titik di luar lingkaran,jika kuasa titik (K) > 0
     2.    Titik pada lingkaran,jika kuasa titik (K) = 0
     3.    Titik di dalam lingkaran,jika kuasa titik (K) < 0
·      Kuasa titik (K) terhadap lingkaran :
    Definisi :
1.    Kuasa titik terhadap lingkaran adalah bilangan yang di dapat dari pemetaan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran umum.
2.    Kuasa titik terhadap lingkaran adalah kuadrat jarak antara titik itu ke titik singgung dari garis pada lingkaran.
Contoh :
1.    Diketahui persamaan x2 + y2 = 9 dan titik P (5,1)
Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 9 adalah :
K = 25 + 1 – 9 = 17
K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran
Menurut definisi (2) K = PQ2







Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17

C.   LINGKARAN DAN GARIS
    Ada 3 kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran,yaitu :
   1.    Garis memotong lingkaran di dua titik ika D > 0
   2.    Garis menyinggung lingkaran jika D = 0
   3.    Garis di luar lingkaran jika D < 0
   Contoh :
   Hitung nilai P agar garis y = x + 1 menyinggung lingkaran x2 + y2 = p
  Jawab :
  -      Garis : y = x + 1 .............  (1)
  -      Lingkaran x2 + y2 = p ............  (2)
  -      Persamaan (1) substitusi ke persamaan (2) menjadi :
      x2 + (x + 1)2 = p
     x2 + x2 + 2x + 1 = p
    2x2 + 2x + 1 – p = 0
    Karena menyinggung lingkaran,maka D = 0
    (2)2 – 4 . 2 (1 – p) = 0
                4 – 8 + 8p = 0
                            8p = 4
                             P = ½

D.   GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
    1.    Garis singgung bergradien m pada lingkaran yang berpusat (α,β) dan berjari-jari r
 
    2.    Garis singgung melalui titik pada lingkaran
          a. Lingkaran berpusat (α,β) berjari-jari r dan titik singgungnya P (x1,y1)
          b. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + ax + bx + c = 0 dan titik singgungnya P (x1,y1)

    3.    Garis singgung melalui titik di luar lingkaran
Prinsip : persamaan garis di substitusi ke persamaan lingkaran,kemudian D = 0

Contoh :
1.    Tentukan persamaan garis melalui titik (16,18) dan menyinggung lingkaran (x - 10)2 + (y – 10)2 = 100
Jawab :
·      Persamaan lingkaran : (x – 10)2 + (y – 10)2 = 100
·      Titik (16,18) terletak pada lingkaran di atas,maka persamaan garis singgung :
     (x – x1) (x – α) + (y – y1) (y – β) = R2
    (16 – 10) (x – 10) + (18 – 10) (y – 10) = 100
                           3 (x – 10) + 4 (y – 10) = 50
                                  3x – 30 + 4y – 40 = 50
                                        3x + 4y – 120 = 0
2.    Garis g mempunyai gradien 2 dan menyinggung lingkaran x2 + y2 = 9. Tentukan persamaan garis g.
    Jawab :
    x2 + y2 = 9                 Pusat : (0,0)
                                     Jari-jari = R = 3
   Persamaan garis g :
      y = mx ± R √(1 + m2)
         = 2x ± 3 √(1 + 4)
         = 2x ± 3 √5

E.   LINGKARAN DAN LINGKARAN
 Kedudukan dan syarat-syaratnya :
1.    Saling asing                                                                                  
                                                                                      

 





2.    Bersinggungan dalam                                                              
                                                                                     

 








3.    L1 di dalam L2
 
 








4. Bersinggungan luar








5. berpotongan

 









Contoh soal :
a.    Jika x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 dan x2 + y2 – 4x – 4y – 17 = 0 adalah persamaan –persamaan lingkaran. Tentukan kedudukan kedua lingkaran itu.
    Jawab :
    L1 :
    x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
    Pusat :
        P = (-1/2 A,-1/2 B) = (1,-2)
    Jari-jari :
 
   




L2 :
    x2 + y2 – 4x – 4y – 17 = 0










Jadi L1 berpotongan dengan L2



1 komentar:

Bimbel FLC Indonesia Centre mengatakan...

thank you for your article
don't visit our blog
http://bimbel-sma.blogspot.com

Poskan Komentar

Silahkan anda berkomentar, namun tetap jaga kesopanan dengan tidak melakukan komentar spam.