Welcome

Delete this widget from your Dashboard and add your own words. This is just an example!

Soal-soal dan Penyelesaian Cerdas

Jumat, 11 Maret 2011

PERSAMAAN KUADRAT

SOAL-SOAL
1.    UMPTN ’91/A/Matematika Dasar/No. 60
     Jika akar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 ialah x1 dan x2,sedangkan akar-akar pesamaan x2 + 10x – 16p = 0 ialah 3x1 dan 4x2,maka nilai p adalah :
    Jawab :
    Cara Biasa :
    x2 + 2x – 8 = 0
    (x – 2) (x + 4) = 0
     x1 = 2       x2 = -4

     3x1 = 6
     4x2 = -16
     Persamaan yang dimaksud :
         (x – 6) (x + 16) = 0
            x2 + 10x – 96 = 0
                           16p = 96
                              p = 6









2.    SIP/88 dan PS I/83
     x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 – (p + 3)x + (2p + 2) = 0. Jika p bilangan asli dan x1 = 3x2,maka p adalah :
    Cara Biasa :
x2 – (p + 3) x + (2p + 2) = 0 ........(1)
x1 = 3x2,maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud :
(x – x2) (x – 3x2) = 0 ..........(2)
Dari persamaan (1) dan (2) :












Cara Menyusun Kuadrat Baru (PKB)
a.    PKB yang akar-akanya m kali akar-akar ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : ax2 + mbx + m2 . c = 0
b.    PKB yang akar-akarnya kebalikan akar-akarnya kebalikan akar-akar ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : cx2 + bx + a = 0
c.     PKB yang akar-akarnya berlawanan akar-akar ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : ax2 – bx + c = 0
d.    PKB yang akar-akarnya x12 dan x22 dari ax2 + bx + c = 0
     Rumus cerdik : a2x2 – (b2 – 2ac) x + c2 = 0
e.    PKB yang akar-akarnya x13 dan x23 dari ax2 + bx + c = 0
     Rumus cerdik : a3x2 – (b2 – 2ac) x + c2 = 0
f.     PKB yang akar-akarnya x1 + m dan x2 + m dari akar-akar ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : a (x – m)2 +b (x – m) + c = 0
g.    PKB yang akar-akarnya x1 – m dan x2 – m dari akar-akar ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : a (x + m)2 + b (x + m) + c = 0
h.    PKB yang akar-akarnya x1/x2 dan x2/x1 dari ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : acx2 – (b2 – 2ac) x + ac = 0
i.      PKB yang akar-akarnya 1/x1 dan 2/x2 dari ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : c2x2 – ( b2 – 2ac) x + a2 = 0
j.      PKB yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1 dari ax2 + bx + c = 0
     Rumus Cerdik : a2 + x2 (ab – ac) x – b . c = 0

3.    UMPTN ‘96/Matematika Dasar/No. 23
     Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0,adalah :



4.    UMPTN/92/IPA/NO. 10
     Akar-akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 ialah x1 dan x2,persamaan dengan akar-akarnya x1 + x2 dan x1 . x2 ialah :
     Jawab :
    CARA BIASA :
     x2 + bx + c = 0,akar = x1 dan x2
    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1 . x2 adalah
          (x – (x1 + x2) (x – x1 . x2) = 0
                 x1 + x2 = -b/1 = -b
             (x – (-b)) (x – c) = 0
                 (x + b) (x – c) = 0
           x2 + (b – c) x – bc = 0






5.    UMPTN/89/A/NO. 76
     Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0,ialah :
     Jawab :



















Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum
A.           a + b           = c
         jika ab         = maksimum,maka a = ½ c
         ab2              = maksimum,maka a = 1/3 c
         a2b3            = maksimum,maka a = 2/5 c

B.           a – b           = c
         jika ab         = minimum,maka a = ½ c
         ab2              = minimum,maka a = 1/3 c
         a2b3             = minimum,maka a = 2/5 c

6.    UMPTN/’89/Matematika Dasar/B
     Dari dua bilangan positif a dan b jumlahnya 300. Hasil kali ab2 maksimum bila a sama dengan
     Jawab :
     CARA BIASA :
       a + b = 300 →  b = 300 – a
       F = ab2 = a (300 – a)2
                   = a (90000 – 600a + a2)
                   = 90000a – 600a2 + a3
        F’ = 3a2 – 1200a + 90000 = 0
                  a2 – 400a + 30000 = 0
                 (a – 300) (a – 100) = 0
                    a = 300       a = 100
       F” = 6a – 1200
         a = 300 →  F” = 6 (300) – 1200 = 600 → min
         a = 100 → F” = 6 (100) – 1200 = -600 → max
         Jadi max bila a = 100







7.    UMPTN/’94/B/No. 78
    Diketahui dua bilangan real a dan b dengan a – b = 100. Maka nilai minimum ab adalah
    CARA BIASA :
      a – b         = 100 →  a = b + 100
      F = ab       = (b + 100) b
                       = b2 + 100 b
      F’ = 2b + 100 = 0 →  b = -50
                          Fmin →  b = -50
       F = (-50)2 + 100 . (-50)
          = 2500 – 5000
          = -2500





























 



























































 





















 
Conton Soal :
1.    SIP/’88
    Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih?
    Jawab :













2.    Prediksi
    Antara pukul 10.00 dan 11.00 jarum panjang dan jarum pendek suatu arloji akan membentuk garis lurus pada pukul 10.00 lebih?
    Jawab :









3.    Prediksi GE
    Antara pukul 11.00 dan 12.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan saling tegak lurus pada pukul 11.00 lebih?
    Jawab :










4.    Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a – 4 = 0. Jika α = 3β,maka nilai a yang memenuhi adalah
    Jawab :
    CARA BIASA :
     x2 + 4x + a – 4 = 0 ...................... (1)
       x1 = 3β        x2 = β
    Maka persamaan kuadratnya adalah :
      (x - 3β) (x – β) = 0
       x2 - 4βx + 3β2 = 0 ...................... (2)
    Dari persamaan (1) dan (2)
       4 = -4β → β = -1
         a – 4 = 3β2
         a – 4 = 3(-1)2
         a – 4 = 3
               a = 7




 








STATISTIKA

Sabtu, 19 Februari 2011

STATISTIKA

A.   DATA
     Adalah kumpulan bilangan-bilangan yang di dapat dari survey,jika data itu di lukis dalam gambar di sebut diagram.
     Macam-macam Data :
     1.    Data Tunggal
     1.1.   Data Tunggal
            Contoh : 3,3,4,6,7,7,8
     2.    Data Kelompok (distribusi frekuensi)
     2.1   Data kelompok

B.   DATA TUNGGAL
    1.    Rata-rata (Mean)

    2.    Median
         Data yang di tengah setelah data diurutkan.

    3.    Modus
        Adalah data yang mempunyai frekuensi terbesar
    4.    Quartil
         Setelah data diurutkan,maka :
         ● Quartil Bawah :


         ● Quartil Atas :


     5.  Simpangan
          Range (jangkauan) : dua paling besar – data paling kecil.
          Simpangan rata-rata :

          Simpangan baku/standart :


           Contoh :
           Diketahui data :


        Tentukan rata-rata,median,modus,quartil bawah,quartil atas,simpangan quartil,simpangan rata-rata dan simpangan baku.
          Jawab :
         ● Rata-rata :
         ● Median :
             Letak median (Nimed) = ½ (n + 1)
                                               = ½ (10 + 1) = 5,5
             Median = 5
         ● Modus = 4 (data dengan frekuensi terbesar)
         ● Quartil (n = genap)
             Letak Q1 = ¼ (n + 2) = ¼ (10 + 2) = 3
                      Q1 = 4
             Letak Q3 = ¼ (3n + 2) = ¼ (30 +2) = 8
                       Q3 = 6
          ● Simpangan Quartil :
              Qd = ½ (Q3 – Q1)
                   = (6 – 4) = 1
          ● Simpangan rata-rata dan simpangan baku :


C.   DATA KELOMPOK



    
      2.    Median

          Lmd = tepi bawah interval median
              F = jumlah frekuensi-frekuensi sebelum interval median
              f = frekuensi interval meddian
             c = lebar interval
      3.    Modus

           Lmod = tepi bawah interval modus
                 a = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi interval sebelumnya
                 b = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi interval sesudahnya
          Interval modus = interval yang frekuensinya terbesar
       4.    Quartil

             Keterangan notasi dapat dianalogikan pada keterangan notasi sebelumnya.
        5.    Simpangan
            Simpangan pada data kelompok cara menghitungnya sama dengan data tunggal. Disini titik-titik tengah dianggap sebagai data tunggal.
            Contoh :
            Diketahui data kelompok :
              Tentukan : rata-rata median,modus,quartil.
             Jawab :

             ● Rata-rata sementara = xs = 25 (bisa ditetapkan lain dari salah satu titik tengah)

             ● Median :
                Letak median (Nmed) = ½ (20 + 1) = 10,5
                Interval kelas median = 20 – 30

              ● Modus
                 Interval kelas modus : 20 – 30
                 a = 6 – 4 = 2 ; b = 6 – 5 = 1

             ● Quartil ( n = genap)
                 Letak Q1 = ¼ (n + 2) = ¼ (20 + 2) = 5,5
                 Interval Q1 = 10 – 20


                 Letak Q3 = ¼ (3n + 2) = ¼ (60 + 2) = 15,5
                 Interval Q3 = 30 – 40




















MATRIKS

Kamis, 10 Februari 2011

MATRIKS


A.   DEFINISI
     Matriks : susunan bilangan-bilangan dengan bentuk persegi panjang yang di atur pada baris dan kolom.
                a11          a12 .......................aln
A =         a21          a21 .......................a2n
                aml          am2 ......................amn

B.    ORDO MATRIKS
      Menentukan banyak baris dan kolom,A(m x n) artinya A mempunyai m baris dan a kolom.

C.    JENIS-JENIS MATRIKS
 
D.   DUA MATRIKS SAMA
     Dua matriks dikatakan sama,jika :
     a.    Ordonya sama
     b.    Elemennya yang seletak sama
     Contoh :
 
E.   TRANSPOR MATRIKS
     Matriks yang di dapat dengan cara mengubah setiap baris ke-n menjadi kolom ke-n.
 
F.   OPERASI MATRIKS
     1.    Penjumlahan / Pengurangan
          Yaitu menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.
          Syarat : ordonya harus sama
          Contoh :

           Sifat-sifat penjumlahan :
          a.    Komutatif
          b.    Asosiatif
          c.     Ada unsur identitas : I
          d.    Ada unsur invers : A + (-A) = 0   →  -A = invers A (invers penjumlahan)
      2.    Perkalian Matriks
          a.    Dengan bilangan riil (skalar)
 
               Sifat-sifat perkalian dengan skalar :
             1.    Komutatif
             2.    Asosiatif
             3.    Ada unsur identitas,yaitu I
             4.    Ada unsur invers yaitu -1
           b.    Perkalian dua buah matriks
                Syarat : banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.
 
                Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :
                1.    Tidak komutatif : A x B ≠ B x A
                2.    Asosiatif : A (BC) = (AB) C
                3.    Distributif : A (B + C) = AB + AC
                4.    Bagi matriks ordo 2 x 2 aa unsur identitas I,sehingga :
                    A . I = A
 
G.   INVERS MATRKS ORDO 2 X 2
 
      Jika ad – bc = 0  →  A = matriks singuler dan A tidak mempunyai invers.
       Contoh :
 
       Jawab :

D.   MATRIKS TRANSFORMASI

 
       Contoh :
       Tentukan bayangan titik P (2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -x
       Jawab :
       Bentuk transformasi : P (x,y)  →  p’ (x’,y’)
 
          Jadi bayangan P = P’ (-3,-2)