Soal-soal dan Penyelesaian Cerdas

PERSAMAAN KUADRAT

SOAL-SOAL

1.    UMPTN ’91/A/Matematika Dasar/No. 60

     Jika akar-akar persamaan x² + 2x – 8 = 0 ialah x₁ dan x₂,sedangkan akar-akar pesamaan x² + 10x – 16p = 0 ialah 3x₁ dan 4x₂,maka nilai p adalah :

    Jawab :

    Cara Biasa :

    x² + 2x – 8 = 0

    (x – 2) (x + 4) = 0

     x₁ = 2       x₂ = -4

     3x₁ = 6

     4x₂ = -16

     Persamaan yang dimaksud :

         (x – 6) (x + 16) = 0

            x² + 10x – 96 = 0

                           16p = 96

                              p = 6

2.    SIP/88 dan PS I/83

     x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan x² – (p + 3)x + (2p + 2) = 0. Jika p bilangan asli dan x₁ = 3x₂,maka p adalah :

    Cara Biasa :

x² – (p + 3) x + (2p + 2) = 0 ........(1)

x₁ = 3x₂,maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud :

(x – x₂) (x – 3x₂) = 0 ..........(2)

Dari persamaan (1) dan (2) :

Cara Menyusun Kuadrat Baru (PKB)

a.    PKB yang akar-akanya m kali akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : ax² + mbx + m² . c = 0

b.    PKB yang akar-akarnya kebalikan akar-akarnya kebalikan akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : cx² + bx + a = 0

c.     PKB yang akar-akarnya berlawanan akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : ax² – bx + c = 0

d.    PKB yang akar-akarnya x₁² dan x₂² dari ax² + bx + c = 0

     Rumus cerdik : a²x² – (b² – 2ac) x + c² = 0

e.    PKB yang akar-akarnya x₁³ dan x₂³ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus cerdik : a³x² – (b² – 2ac) x + c² = 0

f.     PKB yang akar-akarnya x₁ + m dan x₂ + m dari akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : a (x – m)² +b (x – m) + c = 0

g.    PKB yang akar-akarnya x₁ – m dan x₂ – m dari akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : a (x + m)² + b (x + m) + c = 0

h.    PKB yang akar-akarnya x₁/x₂ dan x₂/x₁ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : acx² – (b² – 2ac) x + ac = 0

i.      PKB yang akar-akarnya 1/x₁ dan 2/x₂ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : c²x² – ( b² – 2ac) x + a² = 0

j.      PKB yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : a² + x² (ab – ac) x – b . c = 0

3.    UMPTN ‘96/Matematika Dasar/No. 23

     Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x² + 8x + 10 = 0,adalah :

4.    UMPTN/92/IPA/NO. 10

     Akar-akar persamaan kuadrat x² + bx + c = 0 ialah x₁ dan x₂,persamaan dengan akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ . x₂ ialah :

     Jawab :

    CARA BIASA :

     x² + bx + c = 0,akar = x₁ dan x₂

    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ . x₂ adalah

          (x – (x₁ + x₂) (x – x₁ . x₂) = 0

                 x₁ + x₂ = -b/1 = -b

             (x – (-b)) (x – c) = 0

                 (x + b) (x – c) = 0

           x² + (b – c) x – bc = 0

5.    UMPTN/89/A/NO. 76

     Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0,ialah :

     Jawab :

Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum

A.           a + b           = c

         jika ab         = maksimum,maka a = ½ c

         ab²              = maksimum,maka a = 1/3 c

         a²b³            = maksimum,maka a = 2/5 c

B.           a – b           = c

         jika ab         = minimum,maka a = ½ c

         ab²              = minimum,maka a = 1/3 c

         a²b³             = minimum,maka a = 2/5 c

6.    UMPTN/’89/Matematika Dasar/B

     Dari dua bilangan positif a dan b jumlahnya 300. Hasil kali ab² maksimum bila a sama dengan

     Jawab :

     CARA BIASA :

       a + b = 300 →  b = 300 – a

       F = ab² = a (300 – a)²

                   = a (90000 – 600a + a²)

                   = 90000a – 600a² + a³

        F’ = 3a² – 1200a + 90000 = 0

                  a² – 400a + 30000 = 0

                 (a – 300) (a – 100) = 0

                    a = 300       a = 100

       F” = 6a – 1200

         a = 300 →  F” = 6 (300) – 1200 = 600 → min

         a = 100 → F” = 6 (100) – 1200 = -600 → max

         Jadi max bila a = 100

7.    UMPTN/’94/B/No. 78

    Diketahui dua bilangan real a dan b dengan a – b = 100. Maka nilai minimum ab adalah

    CARA BIASA :

      a – b         = 100 →  a = b + 100

      F = ab       = (b + 100) b

                       = b² + 100 b

      F’ = 2b + 100 = 0 →  b = -50

                          F_min →  b = -50

       F = (-50)² + 100 . (-50)

          = 2500 – 5000

          = -2500

 

 

 

Conton Soal :

1.    SIP/’88

    Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih?

    Jawab :

2.    Prediksi

    Antara pukul 10.00 dan 11.00 jarum panjang dan jarum pendek suatu arloji akan membentuk garis lurus pada pukul 10.00 lebih?

    Jawab :

3.    Prediksi GE

    Antara pukul 11.00 dan 12.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan saling tegak lurus pada pukul 11.00 lebih?

    Jawab :

4.    Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x + a – 4 = 0. Jika α = 3β,maka nilai a yang memenuhi adalah

    Jawab :

    CARA BIASA :

     x² + 4x + a – 4 = 0 ...................... (1)

       x₁ = 3β        x₂ = β

    Maka persamaan kuadratnya adalah :

      (x - 3β) (x – β) = 0

       x² - 4βx + 3β² = 0 ...................... (2)

    Dari persamaan (1) dan (2)

       4 = -4β → β = -1

         a – 4 = 3β²

         a – 4 = 3(-1)²

         a – 4 = 3

               a = 7