RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI

A. PASANGAN URUT

Pasangan urut adalah pasangan antara x dan y dimana x pada urutan pertama dan y urutan kedua dan di tulis dengan (x,y).

(x,y) = (p,q) jika dan hanya jika x = p dan y = q

Catatan : (x,y) ≠ (y,x)

B. RELASI

Relasi dari A ke B di tulis dengan R : A → B adalah hubungan A ke B dengan syarat tertentu.

Contoh :

Diketahui : A = { x│x ≤ 4,x ϵ asli }

B = { y│2 ≤ y ≤ 12,y ϵ genap }

Tentukan relasi dari A ke B yang menyebabkan y = 3x

Jawab :

A = daerah asal (domain)

B = daerah hasil (kodomain)

Yang di tuju anak panah di sebut daerah hasil (range)

C. FUNGSI

Fungsi (pemetaan) adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan dengan tepat setiap elemen dari A ke satu elemen dari B.

f = A → B (f memetakan A ke B)

Syarat fungsi :

R : A → B di sebut fungsi jika memenuhi syarat :

1. Setiap unsur himpunan A berkaitan tepat hanya dengan sebuah unsur himpunan B

2. Semua unsur himpunan A dikaitkan habis dengan unsur himpunan B

Fungsi dapat dinyatakan dengan diagram panah.

Jika F : A → B = fungsi

F : B → A = fungsi

Maka relasi itu di sebut fungsi berkorespondensi satu-satu.

D. KOMPOSISI FUNGSI

Jika F : A → B dinyatakan f(x),sedangkan f : B → C dinyatakan g(x),maka f : A → C adalah g o f(x) (di baca g f x) yang merupakan suatu komposisi fungsi f(x) dan g(x).

Contoh :

Diketahui dua buah fungsi f : R → R dan g : R → R dengan ketentuan :

f(x) = 2x – 3

g(x) = 4 – 3x

Tentukanlah :

a) (fog) (x)

b) (gof) (x)

c) (fof) (x)

d) (gog) (x)

Penyelesaian :

a) (fog) (x) = f(4 – 3x) = 2(4 – 3x) – 3

= 5 – 6x

b) (gof) (x) = g(2x – 3) = 4 – 3(2x – 3)

= 13 – 6x

c) (fof) (x) = f(2x – 3) = 2(2x – 3) – 3

= 4x = 9

d) (gog) (x) = g(4 – 3x) = 4 – 3(4 – 3x)

= 9x – 8

Sifat-sifat Komposisi Fungsi :

1) Tidak Komuloatif

F o g(x) ≠ g o f(x)

2) Assosiatif

F o (g o h) = (F o g) o h

3) Identitas

I o f(x) = f(x) o I = f(x)

I = identitas

E. FUNGSI INVERS

Perhatikan gambar di bawah ini,fungsi F : A → B memetakan setiap x ϵ A ke f(x) = y di B. Sebaliknya fungsi g: B → A memetakan setiap y ϵ B ke f(y) = x di A.

Fungsi g(x) disebut invers dari f(x) dan f(x) merupakan invers dari g(x).

Notasi : f^-1(X),dibaca F invers.

Cara mencari fubgsi invers dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

1) Selidiki apakah f(x) merupakan fungsi 1-1. Jika f(x0 merupakan fungsi 1 – 1,lanjutkan ke tahap 2,jika tidak berarti f(x) tidak mempunyai fungsi invers tetapi invers fungsi.

2) Nyatakan x sebagai fungsi dari y : x g(y)

3) Ganti x dengan y dan y dengan x : y = g(x)

4) Maka y = g(x) merupakan fungsi invers dari y = f(x)

Contoh :

Tentukan fungsi invers dari :