Soal-soal dan Penyelesaian Cerdas

PERSAMAAN KUADRAT

SOAL-SOAL

1.    UMPTN ’91/A/Matematika Dasar/No. 60

     Jika akar-akar persamaan x² + 2x – 8 = 0 ialah x₁ dan x₂,sedangkan akar-akar pesamaan x² + 10x – 16p = 0 ialah 3x₁ dan 4x₂,maka nilai p adalah :

    Jawab :

    Cara Biasa :

    x² + 2x – 8 = 0

    (x – 2) (x + 4) = 0

     x₁ = 2       x₂ = -4

     3x₁ = 6

     4x₂ = -16

     Persamaan yang dimaksud :

         (x – 6) (x + 16) = 0

            x² + 10x – 96 = 0

                           16p = 96

                              p = 6

2.    SIP/88 dan PS I/83

     x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan x² – (p + 3)x + (2p + 2) = 0. Jika p bilangan asli dan x₁ = 3x₂,maka p adalah :

    Cara Biasa :

x² – (p + 3) x + (2p + 2) = 0 ........(1)

x₁ = 3x₂,maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud :

(x – x₂) (x – 3x₂) = 0 ..........(2)

Dari persamaan (1) dan (2) :

Cara Menyusun Kuadrat Baru (PKB)

a.    PKB yang akar-akanya m kali akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : ax² + mbx + m² . c = 0

b.    PKB yang akar-akarnya kebalikan akar-akarnya kebalikan akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : cx² + bx + a = 0

c.     PKB yang akar-akarnya berlawanan akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : ax² – bx + c = 0

d.    PKB yang akar-akarnya x₁² dan x₂² dari ax² + bx + c = 0

     Rumus cerdik : a²x² – (b² – 2ac) x + c² = 0

e.    PKB yang akar-akarnya x₁³ dan x₂³ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus cerdik : a³x² – (b² – 2ac) x + c² = 0

f.     PKB yang akar-akarnya x₁ + m dan x₂ + m dari akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : a (x – m)² +b (x – m) + c = 0

g.    PKB yang akar-akarnya x₁ – m dan x₂ – m dari akar-akar ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : a (x + m)² + b (x + m) + c = 0

h.    PKB yang akar-akarnya x₁/x₂ dan x₂/x₁ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : acx² – (b² – 2ac) x + ac = 0

i.      PKB yang akar-akarnya 1/x₁ dan 2/x₂ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : c²x² – ( b² – 2ac) x + a² = 0

j.      PKB yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ dari ax² + bx + c = 0

     Rumus Cerdik : a² + x² (ab – ac) x – b . c = 0

3.    UMPTN ‘96/Matematika Dasar/No. 23

     Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x² + 8x + 10 = 0,adalah :

4.    UMPTN/92/IPA/NO. 10

     Akar-akar persamaan kuadrat x² + bx + c = 0 ialah x₁ dan x₂,persamaan dengan akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ . x₂ ialah :

     Jawab :

    CARA BIASA :

     x² + bx + c = 0,akar = x₁ dan x₂

    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ . x₂ adalah

          (x – (x₁ + x₂) (x – x₁ . x₂) = 0

                 x₁ + x₂ = -b/1 = -b

             (x – (-b)) (x – c) = 0

                 (x + b) (x – c) = 0

           x² + (b – c) x – bc = 0

5.    UMPTN/89/A/NO. 76

     Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0,ialah :

     Jawab :

Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum

A.           a + b           = c

         jika ab         = maksimum,maka a = ½ c

         ab²              = maksimum,maka a = 1/3 c

         a²b³            = maksimum,maka a = 2/5 c

B.           a – b           = c

         jika ab         = minimum,maka a = ½ c

         ab²              = minimum,maka a = 1/3 c

         a²b³             = minimum,maka a = 2/5 c

6.    UMPTN/’89/Matematika Dasar/B

     Dari dua bilangan positif a dan b jumlahnya 300. Hasil kali ab² maksimum bila a sama dengan

     Jawab :

     CARA BIASA :

       a + b = 300 →  b = 300 – a

       F = ab² = a (300 – a)²

                   = a (90000 – 600a + a²)

                   = 90000a – 600a² + a³

        F’ = 3a² – 1200a + 90000 = 0

                  a² – 400a + 30000 = 0

                 (a – 300) (a – 100) = 0

                    a = 300       a = 100

       F” = 6a – 1200

         a = 300 →  F” = 6 (300) – 1200 = 600 → min

         a = 100 → F” = 6 (100) – 1200 = -600 → max

         Jadi max bila a = 100

7.    UMPTN/’94/B/No. 78

    Diketahui dua bilangan real a dan b dengan a – b = 100. Maka nilai minimum ab adalah

    CARA BIASA :

      a – b         = 100 →  a = b + 100

      F = ab       = (b + 100) b

                       = b² + 100 b

      F’ = 2b + 100 = 0 →  b = -50

                          F_min →  b = -50

       F = (-50)² + 100 . (-50)

          = 2500 – 5000

          = -2500

 

 

 

Conton Soal :

1.    SIP/’88

    Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih?

    Jawab :

2.    Prediksi

    Antara pukul 10.00 dan 11.00 jarum panjang dan jarum pendek suatu arloji akan membentuk garis lurus pada pukul 10.00 lebih?

    Jawab :

3.    Prediksi GE

    Antara pukul 11.00 dan 12.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan saling tegak lurus pada pukul 11.00 lebih?

    Jawab :

4.    Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x + a – 4 = 0. Jika α = 3β,maka nilai a yang memenuhi adalah

    Jawab :

    CARA BIASA :

     x² + 4x + a – 4 = 0 ...................... (1)

       x₁ = 3β        x₂ = β

    Maka persamaan kuadratnya adalah :

      (x - 3β) (x – β) = 0

       x² - 4βx + 3β² = 0 ...................... (2)

    Dari persamaan (1) dan (2)

       4 = -4β → β = -1

         a – 4 = 3β²

         a – 4 = 3(-1)²

         a – 4 = 3

               a = 7

 

STATISTIKA

STATISTIKA

A.   DATA

     Adalah kumpulan bilangan-bilangan yang di dapat dari survey,jika data itu di lukis dalam gambar di sebut diagram.

     Macam-macam Data :

     1.    Data Tunggal
     1.1.   Data Tunggal

            Contoh : 3,3,4,6,7,7,8

     2.    Data Kelompok (distribusi frekuensi)

     2.1   Data kelompok

B.   DATA TUNGGAL

    1.    Rata-rata (Mean)

    2.    Median

         Data yang di tengah setelah data diurutkan.

    3.    Modus

        Adalah data yang mempunyai frekuensi terbesar

    4.    Quartil

         Setelah data diurutkan,maka :

         ● Quartil Bawah :

         ● Quartil Atas :

     5.  Simpangan

          Range (jangkauan) : dua paling besar – data paling kecil.

          Simpangan rata-rata :

          Simpangan baku/standart :

           Contoh :

           Diketahui data :

        Tentukan rata-rata,median,modus,quartil bawah,quartil atas,simpangan quartil,simpangan rata-rata dan simpangan baku.

          Jawab :

         ● Rata-rata :

         ● Median :

             Letak median (Nimed) = ½ (n + 1)

                                               = ½ (10 + 1) = 5,5

             Median = 5

         ● Modus = 4 (data dengan frekuensi terbesar)

         ● Quartil (n = genap)

             Letak Q₁ = ¼ (n + 2) = ¼ (10 + 2) = 3

                      Q₁ = 4

             Letak Q₃ = ¼ (3n + 2) = ¼ (30 +2) = 8

                       Q₃ = 6

          ● Simpangan Quartil :

              Qd = ½ (Q₃ – Q₁)

                   = (6 – 4) = 1

          ● Simpangan rata-rata dan simpangan baku :

C.   DATA KELOMPOK

    
      2.    Median

          L_md = tepi bawah interval median

              F = jumlah frekuensi-frekuensi sebelum interval median

              f = frekuensi interval meddian

             c = lebar interval

      3.    Modus

           L_mod = tepi bawah interval modus

                 a = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi interval sebelumnya

                 b = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi interval sesudahnya

          Interval modus = interval yang frekuensinya terbesar

       4.    Quartil

             Keterangan notasi dapat dianalogikan pada keterangan notasi sebelumnya.

        5.    Simpangan

            Simpangan pada data kelompok cara menghitungnya sama dengan data tunggal. Disini titik-titik tengah dianggap sebagai data tunggal.

            Contoh :

            Diketahui data kelompok :

              Tentukan : rata-rata median,modus,quartil.

             Jawab :

             ● Rata-rata sementara = x_s = 25 (bisa ditetapkan lain dari salah satu titik tengah)

             ● Median :

                Letak median (N_med) = ½ (20 + 1) = 10,5

                Interval kelas median = 20 – 30

              ● Modus

                 Interval kelas modus : 20 – 30

                 a = 6 – 4 = 2 ; b = 6 – 5 = 1

             ● Quartil ( n = genap)

                 Letak Q₁ = ¼ (n + 2) = ¼ (20 + 2) = 5,5

                 Interval Q₁ = 10 – 20

                 Letak Q₃ = ¼ (3n + 2) = ¼ (60 + 2) = 15,5

                 Interval Q₃ = 30 – 40

MATRIKS

MATRIKS

A.   DEFINISI

     Matriks : susunan bilangan-bilangan dengan bentuk persegi panjang yang di atur pada baris dan kolom.

                a₁₁          a₁₂ .......................a_ln

A =         a₂₁          a₂₁ .......................a_2n

                a_ml          a_m2 ......................a_mn

B.    ORDO MATRIKS

      Menentukan banyak baris dan kolom,A(m x n) artinya A mempunyai m baris dan a kolom.

C.    JENIS-JENIS MATRIKS

 

D.   DUA MATRIKS SAMA

     Dua matriks dikatakan sama,jika :

     a.    Ordonya sama

     b.    Elemennya yang seletak sama

     Contoh :

 

E.   TRANSPOR MATRIKS

     Matriks yang di dapat dengan cara mengubah setiap baris ke-n menjadi kolom ke-n.

 

F.   OPERASI MATRIKS

     1.    Penjumlahan / Pengurangan

          Yaitu menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

          Syarat : ordonya harus sama

          Contoh :

           Sifat-sifat penjumlahan :

          a.    Komutatif

          b.    Asosiatif

          c.     Ada unsur identitas : I

          d.    Ada unsur invers : A + (-A) = 0   →  -A = invers A (invers penjumlahan)

      2.    Perkalian Matriks

          a.    Dengan bilangan riil (skalar)

 

               Sifat-sifat perkalian dengan skalar :

             1.    Komutatif

             2.    Asosiatif

             3.    Ada unsur identitas,yaitu I

             4.    Ada unsur invers yaitu -1

           b.    Perkalian dua buah matriks

                Syarat : banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.

 

                Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :

                1.    Tidak komutatif : A x B ≠ B x A

                2.    Asosiatif : A (BC) = (AB) C

                3.    Distributif : A (B + C) = AB + AC

                4.    Bagi matriks ordo 2 x 2 aa unsur identitas I,sehingga :

                    A . I = A

 

G.   INVERS MATRKS ORDO 2 X 2

 

      Jika ad – bc = 0  →  A = matriks singuler dan A tidak mempunyai invers.

       Contoh :

 

       Jawab :

D.   MATRIKS TRANSFORMASI

 

       Contoh :

       Tentukan bayangan titik P (2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -x

       Jawab :

       Bentuk transformasi : P (x,y)  →  p’ (x’,y’)

 

          Jadi bayangan P = P’ (-3,-2)